Lec 09 · 线性相关、基与维数

lec09

笔记

这一讲回答三个问题：

一、线性无关与线性相关

定义：对于一组向量 $v_1, v_2, ..., v_k$ ，如果唯一能使得

c_1v_1 + c_2v_2 + ... + c_kv_k = 0

的系数就是 $c_1=c_2=...=c_k=0$ ，则它们线性无关；否则（存在不全为零的系数）为线性相关。

因为如果存在不为零的系数，就代表着 $v_{i}$ 可以由其他向量线性组合表示

记忆核心：无关 ⇔ 没有多余向量；相关 ⇔ 至少有一个向量可以被别人线性组合出来。

$v_1=(1,0), v_2=(0,1)$ ： $c_1(1,0)+c_2(0,1)=(0,0)$ 直接给出 $c_1=0, c_2=0$ ，无关。它们是坐标轴方向。
$v_1=(1,0), v_2=(2,0)$ ： $2v_1 - v_2 = 0$ ，系数不全为零，相关。因为它们共线，一个是另一个的倍数。
加入第三个向量： $v_1=(1,0), v_2=(0,1), v_3=(2,3)$ 。在 $\mathbb{R}^2$ 中任意三个向量必定线性相关（因为维数是 2，最多容纳 2 个无关向量）。事实上有 $2v_1+3v_2-v_3=0$ 。

$v_1=(1,0,0), v_2=(0,1,0), v_3=(1,1,0)$ ：这三个向量都在 $xy$ 平面这个二维子空间内，因此必然相关。实际上 $v_1+v_2-v_3=0$ 。
去掉一个： $v_1, v_2$ 无关，它们张成 $xy$ 平面。

定义：向量空间 $V$ 的一组向量 $v_1, ..., v_d$ 满足两个条件：

记忆核心：基是“刚好够用，一个不多余”的生成集。

$\mathbb{R}^2$ 的另一组基： $v_1=(1,1), v_2=(1,-1)$ 。它们线性无关，且能张成整个平面：比如 $(3,1) = 2(1,1)+1(1,-1)$ 。
基不是唯一的，但基中向量的个数是固定的。

矩阵 $\begin{array}{c} A = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4\end{pmatrix} \end{array}$ ，其列向量组在 $\mathbb{R}^2$ 中，前两列已经线性无关，所以它们构成 $\mathbb{R}^2$ 的一组基（第三列是前两列的组合）。但注意原向量空间是 $\mathbb{R}^2$ ，所以这里的基只取前两列即可。

定义：向量空间 $V$ 的维度 $\dim(V)$ 就是它任意一组基中向量的个数。

记忆核心：维度是空间的“自由度”，是生成该空间所需的最少向量数，也是最多能容纳的线性无关向量数。

假设有一组向量 $v_1, v_2, v_3$ 张成空间 $V$ ，且它们是线性无关的。那么：