Lec 10 · 四个基本子空间

一、四个基本子空间概览

给定一个 $m \times n$ 的矩阵 $A$，秩为 $r$：

子空间	记号	所在空间	维数	基的求法
列空间	$C(A)$	$\mathbb{R}^m$	$r$	$A$ 的主元列
零空间	$N(A)$	$\mathbb{R}^n$	$n-r$	$Ax=0$ 的特解
行空间	$C(A^T)$	$\mathbb{R}^n$	$r$	消元后阶梯形矩阵 $R$ 的非零行
左零空间	$N(A^T)$	$\mathbb{R}^m$	$m-r$	$A^T y=0$ 的特解，或消元到 $R$ 时记录下的 $E$ 矩阵的对应行

四个子空间的维数之和恰好是 $m+n$。其中，行空间与零空间、列空间与左零空间分别互为正交补。

二、用一个具体例子串起来

取一个 $2 \times 3$ 矩阵：

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix}$$

一眼看出第二行是第一行的两倍，所以 $r=1$。

1. 列空间 $C(A)$

• 所在空间：$\mathbb{R}^2$
• 维数：$r=1$
• 基：主元列是第一列 $\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$。第二、三列都是它的倍数，不增加新方向。
• 几何：$\mathbb{R}^2$ 中过原点的直线。

2. 零空间 $N(A)$

• 所在空间：$\mathbb{R}^3$
• 维数：$n-r = 3-1 = 2$
• 求基：解 $Ax=0$，即 $x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0$。自由变量是 $x_2, x_3$，特解：
  • 令 $x_2=1, x_3=0 \Rightarrow x_1=-2$，得 $\begin{pmatrix}-2\\1\\0\end{pmatrix}$
  • 令 $x_2=0, x_3=1 \Rightarrow x_1=-3$，得 $\begin{pmatrix}-3\\0\\1\end{pmatrix}$
• 几何：$\mathbb{R}^3$ 中过原点的平面（方程 $x_1+2x_2+3x_3=0$）。

3. 行空间 $C(A^T)$

• 所在空间：$\mathbb{R}^3$
• 维数：$r=1$
• 基：第一行 $\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\end{pmatrix}$（第二行是倍数，不独立）。
• 几何：$\mathbb{R}^3$ 中过原点的直线。

4. 左零空间 $N(A^T)$

• 所在空间：$\mathbb{R}^2$

• 维数：$m-r = 2-1 = 1$

• 求基：解 $A^T y = 0$：

  $$A^T = \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 2 & 4 \\ 3 & 6\end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 2 & 4 \\ 3 & 6\end{pmatrix} \begin{pmatrix}y_1 \\ y_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$$

  即 $y_1 + 2y_2 = 0$，取 $y_1=2, y_2=-1$，得基 $\begin{pmatrix}2 \\ -1\end{pmatrix}$。

• 几何：$\mathbb{R}^2$ 中与列空间垂直的直线。

三、正交补关系

这四个空间两两正交：

• 行空间 $\perp$ 零空间：两者在 $\mathbb{R}^n$ 中互为正交补，维数之和 $r + (n-r) = n$。
• 列空间 $\perp$ 左零空间：两者在 $\mathbb{R}^m$ 中互为正交补，维数之和 $r + (m-r) = m$。

验算上面的例子：

• 行空间向量 $(1,2,3)$ 与零空间向量 $(-2,1,0), (-3,0,1)$ 的点积都是 0。
• 列空间向量 $(1,2)$ 与左零空间向量 $(2,-1)$ 的点积是 0。

这种正交关系是后续最小二乘和投影理论的基础。

四、一个避免混淆的关键点

消元时，寻找行空间基最直接可靠的方法，是从阶梯形矩阵 $R$ 中取非零行。行变换不改变行空间，但会改变列空间，所以：

• 列空间的基必须是原矩阵 $A$ 的主元列。
• 行空间的基可以是 $R$ 的非零行（干净、线性无关一目了然）。