Lec 06 · 列空间与零空间

两个出发点

这一章我主要有两个问题：

1. 为什么 $A\mathbf{x} = b$ 的解存在的条件是 $b$ 属于这个 $A$ 组成的列空间？
2. 为什么 $A\mathbf{x} = 0$ 的解可以构成零空间（向量空间）而 $A\mathbf{x} = b$ 的解则不行？

对于第一个问题的解答

我的理解是：$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 表示矩阵 $A$ 把输入向量 $\mathbf{x}$ 线性映射为 $\mathbf{b}$。正向计算总能进行，反过来却未必能找到原像，因为线性变换可能压缩维度。只有当 $\mathbf{b}$ 位于 $A$ 的列空间中，也就是能由 $A$ 的列向量线性组合得到时，方程才有解。

视角一：线性组合（把 $\mathbf{x}$ 当成“调配系数”）

把矩阵 $A$ 按列分块：

$$\begin{array}{c} A = \begin{pmatrix} | & | & | \\ \mathbf{a}_1 & \mathbf{a}_2 & \mathbf{a}_3 \\ | & | & | \end{pmatrix} \end{array}$$

其中 $\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3$ 都是四维列向量。 那么乘法变为：

$$A\mathbf{x} = x_1\mathbf{a}_1 + x_2\mathbf{a}_2 + x_3\mathbf{a}_3$$

理解： 你手上有三个固定的四维向量 $\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3$，三维向量 $\mathbf{x}$ 的三个分量就是调配给这三个向量的“比例”。 乘法的结果 $\mathbf{b}$ 就是这三个四维向量的加权和。 这是最常用的代数理解：矩阵乘向量 = 列向量的线性组合。

视角二：依次做点积（把 $A$ 看成四个线性函数）

把矩阵 $A$ 按行分块：

$$\begin{array}{c} A = \begin{pmatrix} \mathbf{r}_1^T \\ \mathbf{r}_2^T \\ \mathbf{r}_3^T \\ \mathbf{r}_4^T \end{pmatrix} \end{array}$$

每个 $\mathbf{r}_i$​ 是一个三维列向量（行向量转置后还是三维）。 乘法后，结果的每个分量是：

$$b_i = \mathbf{r}_i^T \mathbf{x} = \mathbf{r}_i \cdot \mathbf{x}$$

理解： 矩阵 $A$ 定义了四个从 $\mathbb{R}^3$ 到 $\mathbb{R}$ 的线性函数。你输入一个三维向量 $\mathbf{x}$，这四个函数同时工作，输出四个数，拼成一个四维向量。 这像是在用四套不同的“评分标准”同时评价同一个三维对象，得到四个分数。

视角三：从三维空间到四维空间的线性映射（几何变换）

矩阵 $A$ 定义了一个线性变换：

$$T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^4, \quad T(\mathbf{x}) = A\mathbf{x}$$

它将三维空间映射到四维空间，像空间是一个经过原点、维数至多为 3 的子空间，也就是 $A$ 的列空间。如果 $A$ 的列不满秩，这个子空间还会进一步降维。

• 三维空间里的单位立方体、球体等，都会被映射成四维空间中的某个三维薄片状结构。

• 虽然我们无法直接画出四维空间，但可以类比：就像用 $3\times 2$ 矩阵把二维平面映射到三维空间中的一张平面一样，这里是升了一维。

对于第二个问题的解答

其实很好理解：向量空间必须对向量加法和数乘封闭，并且一定包含零向量。右侧为零的齐次方程天然保留这些性质，而右侧为非零固定向量的方程不会。

• $Ax=0$ 的解集天然包含零向量，且对加法和数乘封闭，所以构成向量空间。

• $Ax=b$（$b \neq 0$）的解集不包含零向量，对加法和数乘也不封闭，所以不可能是向量空间。

一、为什么 $Ax=0$ 的解集一定是向量空间

1. 包含零向量 $A0 = 0$，所以 $0 \in N$。
2. 加法封闭 若 $x_1, x_2 \in N$，则 $A(x_1+x_2) = Ax_1 + Ax_2 = 0+0=0$，所以 $x_1+x_2 \in N$。
3. 数乘封闭 若 $x \in N$，则 $A(cx) = cAx = c0 = 0$，所以 $cx \in N$。

这三个条件自动满足，根源在于零向量在方程右边，线性运算后仍然是零。这个空间正是矩阵 $A$ 的零空间。

二、为什么 $Ax=b$（$b \neq 0$）的解集不是向量空间

还是从向量空间的三个条件检查：

1. 不包含零向量 $A0 = 0 \neq b$，所以 $0$ 不在解集里。一个不包含零向量的集合，绝不可能是向量空间（这是向量空间公理的基本要求）。
2. 加法不封闭 若 $x_1, x_2$​ 都是解，则 $A(x_1+x_2) = Ax_1 + Ax_2 = b + b = 2b \neq b$。 所以两个解的和不再是解。
3. 数乘不封闭 若 $x$ 是解，则 $A(cx) = cAx = cb$。除非 $c=1$，否则结果不等于 $b$，所以数乘后的向量一般不再是解。

这三个“失败”都源于**方程右边是非零的固定向量 $b$，无法随 $x$ 的线性组合而保持等式成立。

三、直观类比

想象在三维空间中：

• $Ax=0$ 的解集可能是一条过原点的直线，或一个过原点的平面——这些是标准的线性子空间。
• 当 $Ax=b$ 有解时，它的解集是零空间的一个平移，不再经过原点。虽然它仍然“平直”，但属于仿射空间，不再具备线性空间的代数结构。

正因为少了“过原点”这个根本属性，向量空间的其他运算封闭性也随之崩塌。